哥哥和弟弟放學回家,媽媽剛烤好一個蛋糕,就拿出刀來,把蛋糕切成兩塊,一塊給哥哥,一塊給弟弟。哥哥嘀咕著,埋怨媽媽偏心,給弟弟那塊比較大;弟弟也嘀咕著,埋怨媽媽偏心,給哥哥那塊比較大。媽媽說,那就讓你們自己來選吧!哥哥先選,弟弟馬上抗議,哥哥肯定把比較大那一塊先選走了。到底該怎麼做,才能皆大歡喜?

媽媽想出了一個主意:先請哥哥把蛋糕切成兩塊,然後再讓弟弟選。這一來,因為是哥哥負責把蛋糕分成兩等分的,他會認為他拿到的肯定是整塊蛋糕的1/2,因此不會有任何妒忌和埋怨;同時,因為弟弟有優先選擇的機會,他也會認為自己拿到整個蛋糕的1/2 或以上,因此也不會有任何妒忌和埋怨。

從切蛋糕到世界和平

哥哥和弟弟想了一下,都覺得這個辦法大家都能接受,這算是平分蛋糕的解答。但是,如果媽媽在蛋糕上面塗了奶油,有些地方是巧克力奶油,有些地方則是草莓奶油,哥哥比較喜歡巧克力奶油,弟弟比較喜歡草莓奶油,那又該怎麼辦?此外,如果除了哥哥和弟弟,還有小妹妹也要吃,那又該怎麼辦?

待會兒我會再回過頭來討論這些問題。在國家、社會、日常生活中,資源、財富、賦稅、工作等的分配是政府、企業、家庭、個人經常都要面對的問題,政府如何把年度總預算分配給國防、教育和社會福利等項目?企業如何把公司所有的員工分派到研發、製造和行銷等不同部門?大至國家之間如何分配某個小島附近公海底下的天然資源、二次大戰後盟軍如何分別占據柏林?小至媽媽如何分配哥哥、弟弟和妹妹去做掃地、收拾房間和遛狗等家務事?要想得到公平、大家都能夠接受的結果,往往相當複雜且困難。

因此,數學家建立了一個平分蛋糕的模型來描述和分析這些情景。我們要把一個蛋糕切成n塊,分給n個人,每個人對每一塊蛋糕有他自己主觀判斷的價值,說得精準一點,他對每一塊蛋糕打一個分數,分數愈高,就表示他愈想分到這塊蛋糕。

其中最明顯的例子,就是一塊蛋糕愈大分數就愈高,但是蛋糕的大小往往是主觀的判斷,更何況計分也可加上個人喜惡的因素,例如蛋糕上巧克力奶油有多少?草莓奶油又有多少?這些因素對分數的影響,也因人而異。不過站在數學分析的觀點來說,這個分數應該符合兩個合理的原則:

第一、一塊大小為0的蛋糕的分數一定是0,換句話說,沒有人要節食。
第二、把兩塊蛋糕合成一塊,它的分數不會減少,換句話說,每個人都貪吃。

在這個模型的前提下,我們的問題是:怎樣公平地把一個蛋糕分給n個人呢?