啟動成功關鍵,隨時掌握商周.com最新資訊
提供第一手新聞解析、財經趨勢、專屬活動
啟動成功關鍵,隨時掌握商周.com最新資訊
提供第一手新聞解析、財經趨勢、專屬活動
哥哥和弟弟放學回家,媽媽剛烤好一個蛋糕,就拿出刀來,把蛋糕切成兩塊,一塊給哥哥,一塊給弟弟。哥哥嘀咕著,埋怨媽媽偏心,給弟弟那塊比較大;弟弟也嘀咕著,埋怨媽媽偏心,給哥哥那塊比較大。媽媽說,那就讓你們自己來選吧!哥哥先選,弟弟馬上抗議,哥哥肯定把比較大那一塊先選走了。到底該怎麼做,才能皆大歡喜?
媽媽想出了一個主意:先請哥哥把蛋糕切成兩塊,然後再讓弟弟選。這一來,因為是哥哥負責把蛋糕分成兩等分的,他會認為他拿到的肯定是整塊蛋糕的1/2,因此不會有任何妒忌和埋怨;同時,因為弟弟有優先選擇的機會,他也會認為自己拿到整個蛋糕的1/2 或以上,因此也不會有任何妒忌和埋怨。
從切蛋糕到世界和平
哥哥和弟弟想了一下,都覺得這個辦法大家都能接受,這算是平分蛋糕的解答。但是,如果媽媽在蛋糕上面塗了奶油,有些地方是巧克力奶油,有些地方則是草莓奶油,哥哥比較喜歡巧克力奶油,弟弟比較喜歡草莓奶油,那又該怎麼辦?此外,如果除了哥哥和弟弟,還有小妹妹也要吃,那又該怎麼辦?
待會兒我會再回過頭來討論這些問題。在國家、社會、日常生活中,資源、財富、賦稅、工作等的分配是政府、企業、家庭、個人經常都要面對的問題,政府如何把年度總預算分配給國防、教育和社會福利等項目?企業如何把公司所有的員工分派到研發、製造和行銷等不同部門?大至國家之間如何分配某個小島附近公海底下的天然資源、二次大戰後盟軍如何分別占據柏林?小至媽媽如何分配哥哥、弟弟和妹妹去做掃地、收拾房間和遛狗等家務事?要想得到公平、大家都能夠接受的結果,往往相當複雜且困難。
因此,數學家建立了一個平分蛋糕的模型來描述和分析這些情景。我們要把一個蛋糕切成n塊,分給n個人,每個人對每一塊蛋糕有他自己主觀判斷的價值,說得精準一點,他對每一塊蛋糕打一個分數,分數愈高,就表示他愈想分到這塊蛋糕。
其中最明顯的例子,就是一塊蛋糕愈大分數就愈高,但是蛋糕的大小往往是主觀的判斷,更何況計分也可加上個人喜惡的因素,例如蛋糕上巧克力奶油有多少?草莓奶油又有多少?這些因素對分數的影響,也因人而異。不過站在數學分析的觀點來說,這個分數應該符合兩個合理的原則:
第一、一塊大小為0的蛋糕的分數一定是0,換句話說,沒有人要節食。
第二、把兩塊蛋糕合成一塊,它的分數不會減少,換句話說,每個人都貪吃。
在這個模型的前提下,我們的問題是:怎樣公平地把一個蛋糕分給n個人呢?
公平百百種,你選哪一種?
首先,我們要問「公平」是什麼意思?「公平」的一個解釋是「滿足(satisfaction) 的公平」, 也可以叫做「比例(proportion)的公平」,那就是每個人都認為他得到他該得到的分配。譬如說把一個蛋糕分給n個人,只要每個人都認為他得到整個蛋糕的1/n,那就是「滿足的公平」了。大家分吃一鍋飯,只要每個人都認為他吃飽了;把一個總預算分給若干部門,只要每個部門都覺得有足夠的款項來執行全年的任務,也都是滿足的公平。說得精準一點,每個人用自己主觀的判斷,對自己得到的分配打一個分數,如果這個分數等於或者超過一個已定的分數,他就滿足了,而且這分數不一定也不必要是大家一致的。
「公平」的另一個解釋是「沒有妒忌(envy-free) 的公平」,那就是每個人對別人得到的分配都沒有妒忌之意,換句話說每個人按照自己的判斷,不認為任何人得到的分配比他更好。「沒有妒忌的公平」要求的條件比「滿足的公平」高,「滿足的公平」說:我吃得飽就好了;「沒有妒忌的公平」說:我吃得飽,而且別人不能比我吃得更多或者更好。
說得精準一點,「沒有妒忌的公平」是每個人用自己主觀的判斷,對所有人得到的分配打分數,別人得到的分數,不比他自己得到的分數高,才是公平。譬如說哥哥分到半塊有巧克力奶油的蛋糕,弟弟分到半塊有草莓奶油的蛋糕,如果哥哥比較喜歡巧克力奶油,弟弟倒無所謂,那就是「沒有妒忌的公平」,但如果反過來,那就不是「沒有妒忌的公平」了。
「公平」的另外一個解釋是「安心的公平」,那就是每個人對別人得到的分配都心安理得,換句話說,每個人按照自己的判斷,不認為別人得到的分配比他差。也就是說,每個人用自己主觀的判斷,別人得到的分配的分數,不比他自己得到的分配的分數低。
「公平」另外的一個解釋是「一致的公平」,如果所有的人用自己主觀的判斷,替所有的人得到的分配打分數,而這個分數都相同一致的話,那就是一致的公平。譬如大家都認為每個人分配到的蛋糕大小都一樣,或是大家都認為每個人分配到的工作,都同樣要花四十個小時才能夠完成,就是「一致的公平」。
讓我強調,在解釋「公平」這個觀念時,一個重要的因素是:若每個人對每一個分配的分數有他自己主觀的判斷,要如何達到公平的目的,往往是相當複雜的事情。反過來,如果對每一個分配的分數,大家都有一個共同接受的、客觀的、量化的判斷,例如一塊蛋糕以它的重量為分數、一份工作以它的工作時間為分數,「公平」的觀念就比較容易瞭解,「公平」的目的也比較容易達成。
講完這些架構上的觀念,讓我們回頭具體地討論怎樣平分一個蛋糕。先讓我重複上面講過的,媽媽如何把一個蛋糕平分給哥哥和弟弟:她先讓哥哥把蛋糕切成兩塊,再讓弟弟從兩塊裡選一塊,這個分配法達到「滿足的公平」的目的,因為哥哥認為他的確把蛋糕平分成兩塊,因此在他心目中,他拿到的確實是一半;另一方面,弟弟認為他在兩塊蛋糕中選了比較大的一塊,因此拿到的會等於或者大於一半。
同時,這個分配法也達到「沒有妒忌的公平」的目的,因為在哥哥的心目中,弟弟只拿到一半,不會比他拿到的更多;在弟弟的心目中,哥哥只拿到他不要的一塊,不會比他拿到的多。至於這個分配法有沒有達到「一致的公平」呢?那就不一定了,雖然毫無疑問地,哥哥認為他得到的是一半,可是弟弟可能認為他得到的是一半或者大於一半。
把這個問題延伸到把一塊蛋糕分給哥哥、弟弟和妹妹,問題就比較複雜了,因為「滿足的公平」並不保證「沒有妒忌的公平」,在三個(或者更多的)兄弟姐妹的情形之下,即使每個人都認為他自己分配得到1/3,但是同時他也可能主觀地認為可能有別人分配到1/3 以上。
滿足的公平
讓我們看看怎樣把一個蛋糕分給三兄妹,以達到「滿足的公平」。首先,有一個看似最明顯和簡單的方法是行不通的:讓哥哥把蛋糕分成三塊,讓弟弟選,再讓妹妹選,剩下來的給哥哥。在哥哥的心目中,三塊蛋糕的大小是一樣的,他滿足;在弟弟的心目中,他先選了最大的一塊,他也滿足;但是在妹妹的心目中,弟弟可能拿了最大的一塊,剩下來的兩塊都是小於1/3 的,所以她不會滿足。
有一個可行的方法,容我告訴大家:首先,我們把一塊等於1/3或者以上的蛋糕叫做大塊,一塊在1/3 以下的蛋糕叫做小塊。首先,讓哥哥把蛋糕分成三塊,在他的心目中,每塊都是大塊。然後,讓弟弟來評估,這有兩個可能(1) 和(2):
(1) 如果弟弟認為這三塊裡至少有兩塊是大塊,他就說:「讓妹妹先選吧!」妹妹先選,當然在她心目中,她選的那一塊是大塊;接下來弟弟選,因為在他心目中至少有兩塊大塊,即使妹妹選了一塊,剩下來還有一塊;最後剩下來的一塊給哥哥,反正他一直認為三塊的大小都是1/3,所以就達到了「滿足的公平」的目的。
(2) 但是如果弟弟認為這三塊裡,只有一塊大塊,那就是說有兩塊是小塊,他還是說:「讓妹妹先選吧!」這就會產生兩個可能(2.1) 和(2.2):
(2.1) 如果妹妹認為這三塊裡至少有兩塊大塊,妹妹就說:「還是讓弟弟先選吧!」這個時候,因為在弟弟心目中,三塊之中有一塊大塊,兩塊小塊,他當然選那一塊大塊;接下來妹妹選,因為在她心目中,有兩塊大塊,即使弟弟選了一塊大塊,還剩下來一塊大塊;最後剩下來的一塊給哥哥,反正他一直認為三塊的大小都是1/3,所以就達到了「滿足的公平」的目的。
(2.2) 如果妹妹也認為這三塊裡只有一塊大塊,那就是說有兩塊小塊,既然弟弟認為三塊中有兩塊小塊,妹妹也認為三塊中有兩塊小塊,因此至少有一塊弟弟和妹妹都公認是小塊,那就把這個小塊分給哥哥,因為他會無怨無尤地認為每一塊的大小都是1/3。接下來,我們把剩下來的兩塊合起來,成為一塊,在弟弟和妹妹的心目中合起來那一塊是大於2/3的,因為哥哥已經拿走了他們心目中的小塊,我們就用媽媽的老方法(媽媽應用的正是茶壺原理),讓弟弟切,妹妹選,在他們兩個人的心目中都各分到一塊大小是2/3 的一半或者以上,也就達到「滿足的公平」的目的了。
上述可以達到「滿足的公平」目的的切法可以推廣到n個人,不過在這裡我就不講了。
沒有妒忌的公平
接下來,讓我們看看若要把一個蛋糕分給三兄妹,且達到「沒有妒忌的公平」的目的,該用什麼方法。首先,哥哥把蛋糕分成他認為是三等分的三塊,接下來,讓弟弟比較這三塊的大小,假如他也認為這三塊的確是三等分,那就簡單了,讓妹妹先選,然後讓弟弟選,再讓哥哥拿剩下來的一塊。因為妹妹是先選的,她不會妒忌哥哥或者弟弟,既然哥哥和弟弟都同意這三塊是三等分的,那麼不管妹妹怎麼選,哥哥也不會妒忌,弟弟也不會妒忌,而且哥哥和弟弟彼此之間也不會妒忌,也就達到了「沒有妒忌的公平」的目的。
但是如果弟弟在比較這三塊的大小之後,他認為這三塊的大小是不同的,他把它們排成最大、次大、最小三塊,他把最大那一塊切成兩塊,叫這兩塊做A和D,在弟弟的心目中,A的大小等於次大那一塊叫做B,還有最小那一塊叫做C,如圖1-3 (a) 所示。讓我們把D放在一旁,先分配A、B和C,我們讓妹妹先選,當然她可以隨便選,接下來讓弟弟選,但是有一個條件,如果妹妹沒有選A,弟弟一定要選A,剩下來的就留給哥哥。請注意,選A的一定是弟弟或者是妹妹。讓我們只分析妹妹選了A的這個可能,至於弟弟選了A這個可能的分析是相似的。
妹妹選了A,我們就讓弟弟來選,弟弟自然選了B。接下來,我們讓弟弟把D分成三小塊,如圖1-3 (b) 所示。我們先讓妹妹在那三小塊裡選,再讓哥哥選,最後剩下來那一小塊就留給弟弟。讓我們總結一下:
1. 妹妹分到A和D的三小塊裡她最先選的一小塊
2. 弟弟分到B和D的三小塊裡最後剩下來那一小塊
3. 哥哥分到C和D的三小塊裡他在中間選那一小塊
站在妹妹的立場,在A、B、C裡她是最先選的,在D的三小塊裡,她也是最先選的,所以她不會有任何妒忌和埋怨。站在弟弟的立場,他分到B,站在他的立場B的大小和A一樣,因為是他負責把原來最大的一塊切成A和D的,B不會比C小,因為他是從B和C中間選了B的,弟弟也分到D的三小塊裡剩下來那一塊,但是他是負責把D平分的,所以他也沒有任何的妒忌和埋怨的地方。站在哥哥的立場,首先,他分到C,C是他首先把蛋糕分成三等分中的一塊,所以在他的心目中C比A大,C也不小於B,接下來,哥哥也不會妒忌妹妹,因為哥哥認為C=A+D,現在妹妹只拿到A加上D的一小塊,哥哥也不會妒忌弟弟,因為哥哥認為C=B,而且D的三小塊裡,哥哥先選,弟弟後選,這也就達到了「沒有妒忌的公平」的目的了。
達到「沒有妒忌的公平」目的的切法,也已經推廣到n個人,但是目前推廣的切法中有一個缺點,我們在上面講過的方法:若兩個人,「沒有妒忌的公平」的切法,只要切一刀;若三個人,「沒有妒忌的公平」的切法,只要切五刀;可是在目前已知的推廣分法,即使四個人,要切的刀數卻是沒有上限的,也因此還有許多研究的空間。
各得其所的公平
接下來,我要講一個不同的情景:媽媽把蛋糕切成三段放在桌上,哥哥、弟弟、妹妹,同時伸手去拿他們最想要的那一段,而且每個人的選擇完全憑自己的主觀和靈感,不見得和大小有關,也許哥哥喜歡巧克力比較多的一段,弟弟喜歡有白色奶油那一段,妹妹喜歡蛋糕上有一朵花那一段,而且這些主觀的衡量並不是固定的,媽媽換一種切法,三個人的選擇可能又會按照不同的想法來判斷,不一定和巧克力、奶油和花有關係,換句話說,三個人隨心所欲,沒有規則可以遵循。
很明顯地,如果媽媽把蛋糕切成三段,而有兩個小朋友都搶著要同一段,那麼就會打起架來了。反過來,如果三個人的首選都各不相同的話,譬如說哥哥要第一段、弟弟要第三段、妹妹要第二段,那就天下太平,沒有任何爭執了,這可以叫做「各得其所的公平」。有人問說,媽媽真難做,到底「各得其所的公平」有可能達到嗎?答案是「幾乎」是可以的。
讓我較為精準地描述一個切蛋糕的模型,有一塊長方形的蛋糕自左到右總長度是1,媽媽拿著刀垂直的把蛋糕切成三段,由左到右。明顯地,我們有很多不同的方法選擇三段長度x1、x2、x3 的數值。在任何一個切法裡,三兄妹可以各有他們自己首選的一段,我們的目的是尋找一個切法,讓三兄妹的首選彼此沒有衝突,也就是哥哥說我首選的是某一段,弟弟說我首選的是另外一段,妹妹說我的首選是不同的另外一段,當他們的首選沒有衝突時,這就達到「各得其所的公平」了。
首先,假如媽媽嘗試很多很多的切法,譬如說一千個不同的切法,把蛋糕切成三段,哥哥告訴媽媽在每一個切法裡,他優先選擇的一段,同樣地,弟弟和妹妹也告訴媽媽在每一個切法裡他們首選一段,那麼請問:在這一千個的切法裡,可不可能找到一個切法,讓哥哥、弟弟和妹妹的首選都各不相同,答案是「差不多」可以的。
讓我們先假設有三個切法,在這三個切法裡,三兄妹的首選是不同的,有一個切法,哥哥的首選是第一段,有另外一個切法,弟弟的首選是第二段,又有另外一個切法,妹妹的首選是第三段,換句話說,他們的首選是沒有衝突的。您說這有什麼用,這是三個不同的切法!但是如果我同時告訴您,這三個切法都是很接近的,也就是說在這三個切法裡,x1 的數值都很接近,x2 的數值都很接近,x3 的數值也很接近,那麼我們就可以把這三個切法「馬馬虎虎」地合成一個切法,那就是一個「各得其所的公平」的切法了。在數學上嚴格地來說,我們從一千個不同的切法,增加到一萬個、十萬個不同的切法,那麼這三個切法就會收斂成為一個切法了。
書名:你沒聽過的邏輯課
作者:劉炯朗
出版社:時報出版
出版日期:2015年7月6日
中研院士劉炯朗以親切的語法,引領思考的階梯,以深入淺出的方式,逐步破解各類日常迷思,從切蛋糕、排身高、電視猜獎遊戲、魔術洗牌玄機、俊男美女的黃金比例到輪盤、賭馬輸贏的機率,乃至預測樂透中獎號碼、運動賽事勝負輸贏……,都能逐一破解,讓邏輯和數學不再深奧,生活變得更有趣,是老少咸宜的科普讀物。
你知道嗎?生活離不開邏輯……
★ 蛋糕怎麼切才能皆大歡喜?
★ 一天可以學會五套魔術嗎?
★ 誰是MLB冠軍隊?
★ 林書豪被交易的機率有多高?
★ 怎樣才能獨得樂透彩?
★ 百萬轎車就在門後面,我該怎麼選?
★ 骰子、輪盤和賭馬的必勝賭盤怎麼下?
★ 罹癌機率……不會吧!
愛書人來讀冊